egal ob du erst den Quotienten draus machst oder nicht, die Lösung ist immer folgende:

f'(x)=e^(-t²x²)*(t-2x²t³)

Du musst beim Ableiten beachten, dass die e-Funktion nochmal verschachtelt ist. Die Regel lautet: f'(e^(g(x)))=e^(g(x))*g'(x)

In deinem Fall ist also die Produktregel:

f'(x)=t+e^(-t²x²)+tx*(-2xt²)*e^(-t²x²)

Das kannst du dann einfach noch vereinfachen.
Bei der Quotientenregel rechnest du genauso. Das Ergebnis sieht erst etwas komisch aus, aber aus Zähler und Nenner kannst du rauskürzen, sodass du auch wieder auf das obere kommst.

Diese Angaben sind wie immer ohne Gewähr. (Bitte nicht schlagen wenn's falsch ist, hab seit 2 Jahren kein Mathe mehr gemacht).